Radio-Club de Viry-Châtillon (91) - F5KEE

par F5FOD, Jean-Pierre Waymel

Nous allons revoir quelques règles d'algèbre très simples mais indispensables pour effectuer certains calculs. Il ne s'agira pas de hautes mathématiques donc : « Pas de panique ! ».
Il ne sera pas forcément nécessaire d'en retenir les démonstrations. Par contre, les règles édictées vous seront utiles mais ne pourront être maîtrisées qu'au prix d'un peu de pratique…

Pourquoi utiliser des lettres quand on veut faire… des calculs ?
L'utilisation de lettres permet de généraliser.
Par exemple :
- soit L la longueur d'un mur, quelle que soit sa longueur,
- soit h la hauteur d'une armoire, quelle que soit sa hauteur,
- soit P le prix d'une baguette de pain, quel que soit son prix. En général, on choisit quelques lettres significatives, il sera plus facile d'en mémoriser la signification. Souvent d'ailleurs on n'utilise qu'une seule lettre : en mathématiques, il est fortement recommandé d'être intelligemment paresseux… Mais rien n'empêcherait la désignation suivante :
- soit eqfeqmfkepzvkqre la longueur d'un mur.
Mais vous avouerez qu'il y a des choix plus subtils à faire ! Si l'on veut doubler la longueur du mur, il suffira d'écrire 2 × L ou mieux : 2 L.
Et le tour est joué, quelle que soit la valeur de L, c'est-à-dire quelle que soit la longueur du mur. Si ce mur-là a une longueur de 2 m, on écrira : L = 2.
Ce sera tout simplement un cas particulier de longueur de mur. S'il y a plusieurs murs, on pourra noter :
- L1 la longueur du mur 1,
- L2 la longueur du mur 2,
- L3 la longueur du mur 3. Attention : ici L2, ce n'est pas L multiplié par 2 ! Pour éviter les ambiguïtés, on pourra mettra le 2 en indice : . Les expressions ainsi écrites sont appelées « expressions littérales » parce qu'elles contiennent au moins une lettre.

Soustraire, c'est additionner l'opposé
L'opposé de 2, c'est −2. Soustraire 2, c'est additionner −2 :
5 − 2 = 5 + (−2)
Les parenthèses permettent ici d'éviter d'écrire « +− ». Et pour faire sauter ces parenthèses, il suffit d'appliquer la règle des signes suivante : « + » et « − » donnent « − ».
De même : L2 − L3 = L2 + (−L3).

Diviser, c'est multiplier par l'inverse
L'inverse de 2, c'est 1/2. Diviser par 2, c'est multiplier par 1/2 : 10 / 2 = 10 × 1/2.
De même, L1 / 2 = L1 × 1/2.

Commutativité de l'addition et de la multiplication
2 + 3 = 3 + 2
a + b = b + a 2 × 3 = 3 × 2
a × b = b × a
ab = ba
Cette propriété est appelée « commutativité ». On remarquera que la soustraction et la division ne sont pas commutatives !

Manipulations sur des égalités
Exemples d'égalité :
2 = 2 signifie… que 2 = 2 !
h = h signifie que la hauteur de l'armoire est égale à la hauteur de l'armoire.
L1 = L2 signifie que le mur 1 a la même longueur que le mur 2, quelle que soit cette longueur.
Les deux premières égalités sont assez triviales alors que la troisième est beaucoup plus riche. Un peu de vocabulaire :
- la partie à gauche du signe « = » est appelée « membre de gauche »,
- la partie à droite du signe « = » est appelée « membre de droite ».

Règle 1 : égalité, addition d'un même nombre aux deux membres
On peut additionner un même nombre au membre de gauche et au membre de droite d'une égalité : cette égalité restera toujours vraie.
Exemple : 2 = 2.
Additionnons 12 de chaque côté : 2 + 12 = 2 + 12 ; c'est vrai car 14 = 14. Autre exemple : L1 = L2.
Additionnons 2 de chaque côté : L1 + 2 = L2 + 2 ; c'est vrai : si les 2 murs ont la même longueur et si nous leur ajoutons 2 m à tous deux, le mur 1 aura toujours la même longueur que le mur 2, bien que cette longueur ait changé par rapport à celle d'origine.

Règle 2 : égalité, soustraction d'un même nombre aux deux membres
On peut soustraire un même nombre au membre de gauche et au membre de droite d'une égalité : cette égalité restera toujours vraie.
Exemple : 58,5 = 58,5.
Soustrayons 5 de chaque côté : 58,5 − 5 = 58,5 − 5 ; c'est vrai : 53,5 = 53,5. Autre exemple : L1 = L2.
Soustrayons 3 de chaque côté : L1 − 3 = L2 − 3 ; c'est vrai : si les 2 murs ont la même longueur et si nous leur retirons 3 m à tous deux, le mur 1 aura toujours la même longueur que le mur 2, bien que cette longueur ait changé par rapport à celle d'origine.
Nous aurions pu déduire tout de suite la règle 2 de la règle 1 en observant que soustraire, c'est additionner l'opposé.

Règle 3 : égalité, multiplication des deux membres par un même nombre
On peut multiplier par un même nombre le membre de gauche et le membre de droite d'une égalité : cette égalité restera toujours vraie.
Exemple : 0,1 = 0,1.
Multiplions par 10 de chaque côté : 0,1 × 10 = 0,1 × 10 ; c'est vrai : 1 = 1. Autre exemple : L1 = L2.
Multiplions par 3 de chaque côté : L1 × 3 = L2 × 3 ; c'est vrai : si les 2 murs ont la même longueur et si nous triplons leur longueur à tous deux, le mur 1 aura toujours la même longueur que le mur 2, bien que cette longueur ait changé par rapport à celle d'origine.

Règle 4 : égalité, division des deux membres par un même nombre non nul
On peut diviser par un même nombre non nul le membre de gauche et le membre de droite d'une égalité : cette égalité restera toujours vraie.
Attention : il est interdit de diviser par 0 !
Exemple : 10 = 10.
Divisons par 2 de chaque côté : 10 / 2 = 10 / 2 ; c'est vrai : 5 = 5. Autre exemple : L1 = L2.
Divisons par 3 de chaque côté : L1 / 3 = L2 / 3 ; c'est vrai car si les 2 murs ont la même longueur et si nous divisons par 3 leur longueur à tous deux, le mur 1 aura toujours la même longueur que le mur 2, bien que cette longueur ait changé par rapport à celle d'origine. Nous aurions pu déduire tout de suite la règle 4 de la règle 3 en observant que diviser, c'est multiplier par l'inverse. Ces règles peuvent vous paraître évidentes, elles vous seront très utiles.

Règle 5 : égalité, faire passer un terme d'un membre à l'autre
Dans une égalité, on fait passer un terme d'un membre à l'autre en changeant son signe : cette égalité restera toujours vraie.
Cette règle fonctionne dans les deux sens :
- du membre de gauche vers le membre de droite,
- du membre de droite vers le membre de gauche. Supposons que la somme de la longueur L1 du mur 1 et de la longueur L2 du mur 2 soit égale à la longueur L3 du mur 3.
Algébriquement cette phrase se traduit par l'égalité suivante : L1 + L2 = L3, ce qui est quand même beaucoup plus digeste que la longue phrase précédente ! Nous souhaitons maintenant calculer la longueur du mur 2 connaissant les longueurs des murs 1 et 3.
Appliquons la règle 2, soustrayons L1 de chaque côté de l'égalité de départ :
L1 + L2 − L1 = L3 − L1 que l'on peut écrire ainsi :
L1 + L2 + (−L1) = L3 − L1 ou encore, puisque l'addition est commutative :
L1 + (−L1) + L2 = L3 − L1 Faisons sauter les parenthèses :
L1 − L1 + L2 = L3 − L1 Or L1 − L1 est égal à 0. Il nous reste :
0 + L2 = L3 − L1 donc :
L2 = L3 − L1 Nous pouvons maintenant calculer L2 connaissant L1 et L3, ce qui résoud notre problème. Partis de L1 + L2 = L3, nous sommes arrivés à L2 = L3 − L1.
L1, L2 et L3 sont appelés "termes" de l'égalité.
D'où la règle édictée.

Rapports de 2 quantités
Par « rapports de 2 quantités », nous entendons des expressions des types suivants :

   

et plus généralement :

   

qui se lit « a sur b » car a se situe au-dessus de la barre horizontale de « division » (c'est le numérateur) et b en dessous (c'est le dénominateur). Remarquons aussi que 2 et R, par exemple, peuvent s'écrire :

   

Attention : comme déjà signalé, la quantité sous la barre de « division » ne doit jamais être égale à 0 !

Multiplier un rapport de 2 quantités par un autre rapport de 2 quantités
Il suffit de multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Exemples :

   

Cas particulier
Comme c/c vaut 1, on peut écrire :

   

On en déduit la règle qui suit. Règle 6 : rapport de 2 quantités, multiplication haut et bas par un même nombre non nul
On peut multiplier haut et bas un rapport de 2 quantités par un même nombre non nul sans changer la valeur de ce rapport.
Dans notre exemple, on a multiplié par c.

Diviser un rapport de 2 quantités par un autre rapport de 2 quantités
Diviser, c'est multiplier par l'inverse. Nous sommes donc ramenés au cas précédent.

   

d'où :

   

Cas particulier

   

Nous avons utilisé la règle 6, la commutativité de la multiplication, la multiplication de rapports de 2 quantités et la réciproque du fait que diviser, c'est multiplier par l'inverse…
On en déduit la règle qui suit. Règle 7 : rapport de 2 quantités, division haut et bas par un même nombre non nul
On peut diviser haut et bas un rapport de 2 quantités par un même nombre non nul sans changer la valeur de ce rapport.
Dans notre exemple, on a divisé par c. On dit aussi que l'on a simplifié par c.

Produit en croix
Prenons l'égalité suivante :

   

Multiplions chaque côté de cette égalité par bd :

   

qui s'écrit aussi :

   

ou encore :

   

c'est-à-dire :

   

Simplifions par b à gauche et par d à droite. Nous obtenons alors (la multiplication étant commutative) :

   

En résumé :

   

C'est ce que l'on appelle « produit en croix » car dans l'égalité des 2 rapports a/b et c/d, la ligne joignant a à d et la ligne joignant b à c forment ensemble une croix :

Ce produit en croix sera extrêmement pratique pour vérifier certaines transformations…

Les parenthèses
Les parenthèses permettent :
- de faciliter l'écriture des expressions algébriques,
- de simplifier les calculs en faisant des petits paquets autonomes. Exemples :
2 + 4 × 6 − 2 = 2 + (4 × 6) − 2 = 24
C'est plus clair ainsi, même s'il existe des priorités dans les opérations (la multiplication ayant priorité sur l'addition et la soustraction). 5 + 8 / 4 × 2
Ici on a pu vouloir écrire :
5 + [(8 / 4) × 2] = 5 + [2 × 2] = 9
ou :
5 + [8 / (4 × 2)] = 5 + [8 / 8] = 6 Crochets (et accolades) jouent le même rôle que les parenthèses et vont bien entendu toujours 2 par 2.
Les parenthèses sont des espèces de boîtes : leur contenu sera traité de façon autonome par rapport au reste de l'expression algébrique dans laquelle elles sont insérées.

Règle des signes
Lorsque deux signes se rencontrent, voici la règle à appliquer :
+ et + donnent +
− et − donnent +
+ et − donnent −
− et + donnent − Autrement dit :
- deux signes identiques qui se rencontrent donnent +
- deux signes opposés qui se rencontrent donnent − Deux signes se rencontrent lorsque l'on fait sauter des parenthèses.
Exemples :
3 − (−1) = 3 + 1 = 4
3 + (−1) = 3 − 1 = 2 3 − (8 + 7) = 3 − 8 − 7 = −12 (car 8 = +8).
On aurait pu aussi calculer ce qu'il y avait entre les parenthèses :
3 − 15 = −12 3 − (8 − 7) = 3 − 8 + 7 = 2
De même, on aurait pu aussi calculer ce qu'il y avait entre les parenthèses :
3 − 1 = 2 a − (b + c − d) = a − b − c + d
a + (b + c − d) = a + b + c − d − (−x) = x

Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition
Soit à calculer :
2 × (3 + 4).
On peut évidemment calculer ce qu'il y a entre les parenthèses puis terminer par la multiplication :
2 × (3 + 4) = 2 × 7 = 14. Une autre façon de procéder est de distribuer la multiplication sur chacun des termes de l'addition de la façon suivante :
2 × (3 + 4) = (2 × 3) + (2 × 4)
ce qui donne :
6 + 8 = 14. Avec des lettres, il n'est plus possible de calculer le contenu des parenthèses :
a × (b + c).
Seule la distribution permet alors d'écrire :
a × (b + c) = (a × b) + (a × c). Le résultat est identique avec :
(b + c) × a
puisque la multiplication est commutative…

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