Formation à l'examen : circuit RLC parallèle, en régime sinusoïdal - Radio-Club de Viry-Châtillon (91)

Formation à l’examen : circuit RLC parallèle, en régime sinusoïdal

par F5FOD, Jean-Pierre Waymel

Rappel
Une impédance Z s'exprime mathématiquement au moyen d'un nombre complexe contenant deux informations :
- son module |Z| : c'est la valeur de l'impédance, en ohms,
- son argument φ : c'est le déphasage de la tension par rapport au courant. Il s'agit donc d'un angle, en radians ou en degrés.
Pour alléger le texte, l'expression « module de l'impédance » sera maintenant remplacée par le seul terme « impédance », noté Z en abrégé.

1. Circuit RpLpCp parallèle (indice « p » pour « parallèle »)
Nous allons calculer l'impédance Zp du circuit suivant :

Il s'agit donc de trois composants connectés en parallèle :
- une résistance Rp,
- une bobine Lp,
- un condensateur Cp.

À titre d'exemple, nous prendrons des composants ayant les valeurs suivantes :
Rp = 253,25 kΩ (nous verrons un peu plus loin le pourquoi d'une valeur aussi étrange !),
Lp = 1 mH (plus exactement 1,013 mH),
Cp = 100 pF.

Ce circuit est soumis à une tension sinusoïdale u de valeur maximale umax et de pulsation ω = 2πF, F étant la fréquence.

iRp est le courant traversant la résistance Rp. Ce courant est :
- sinusoïdal,
- de même pulsation ω donc de même fréquence F,
- en phase avec la tension u. Par conséquent, le déphasage de iRp par rapport à u est égal à 0° soit 0 radian.

iCp est le courant traversant le condensateur Cp. Ce courant est :
- sinusoïdal,
- de même pulsation ω donc de même fréquence F,
- en quadrature avance par rapport à la tension u. Par conséquent, le déphasage de iCp par rapport à u est égal à +90° soit +π/2 radian.

iLp est le courant traversant la bobine Lp. Ce courant est :
- sinusoïdal,
- de même pulsation ω donc de même fréquence F,
- en quadrature retard par rapport à la tension u. Par conséquent, le déphasage de iLp par rapport à u est égal à −90° soit −π/2 radian.

i est le courant traversant l'ensemble RpLpCp.
On devrait pouvoir écrire : i = iRp + iCp + iLp puisque les trois composants sont en parallèle. MAIS ces trois courants iRp, iCp et iLp n'étant pas en phase, on ne peut absolument pas faire cette simple addition !

Tout d'abord, s'agissant d'un circuit parallèle, rappelons que nous avons intérêt à utiliser la notion de conductance Gp :

$\boldsymbol{{{G}_{p}}=\frac{1}{{{{R}_{p}}}}}}}$

Par le calcul trigonométrique (et beaucoup plus facilement en utilisant les nombres complexes), on arrive à la formule suivante :

$\boldsymbol{{{i}_{{\max }}}={{u}_{{\max }}}\sqrt{{{{G}_{p}}^{2}+{{{\left( {{{C}_{p}}\omega -\frac{1}{{{{L}_{p}}\omega }}} \right)}}^{2}}}}}$

Ce qui nous permet d'obtenir l'admittance Yp de l'ensemble RpLpCp parallèle :

(1) $\begin{equation*} \boxed{\boldsymbol{{{Y}_{p}}=\frac{{{{i}_{{\max }}}}}{{{{u}_{{\max }}}}}=\sqrt{{{{G}_{p}}^{2}+{{{\left( {{{C}_{p}}\omega -\frac{1}{{{{L}_{p}}\omega }}} \right)}}^{2}}}}}} \end{equation*}$

puis son impédance Zp :

(2) $\begin{equation*} \boxed{\boldsymbol{{{Z}_{p}}=\frac{{{{u}_{{\max }}}}}{{{{i}_{{\max }}}}}=\frac{1}{{{{Y}_{p}}}}=\frac{1}{{\sqrt{{{{G}_{p}}^{2}+{{{\left( {{{C}_{p}}\omega -\frac{1}{{{{L}_{p}}\omega }}} \right)}}^{2}}}}}}=\frac{1}{{\sqrt{{\frac{1}{{{{R}_{p}}^{2}}}+{{{\left( {{{C}_{p}}\omega -\frac{1}{{{{L}_{p}}\omega }}} \right)}}^{2}}}}}}}} \end{equation*}$

Notons qu'ici aussi, pour alléger le texte, l'expression « module de l'admittance » est remplacée par le seul terme « admittance », noté Yp en abrégé.

Comment retenir cette formule ?
Il existe un moyen bien commode de la retrouver au moyen d'une construction géométrique simple appelée « diagramme de Fresnel ».

2. Obtention de l'admittance Yp puis de l'impédance Zp au moyen du diagramme de Fresnel
Étape 1

À partir d'un point O, traçons une ligne horizontale vers la droite. Ce sera la référence de phase, c'est-à-dire la phase à l'origine de la tension u. D'où le « u » rappelé au bout de cette ligne.
Graduons cet axe en siemens (graduations non représentées sur le diagramme ci-dessus). La longueur OA représentera la valeur en siemens de la conductance Gp. Autrement dit OA = Gp = 1/Rp.

Étape 2

Avec la même échelle, traçons AB avec AB = Cpω, la valeur en siemens de la susceptance BCp du condensateur Cp. AB est perpendiculaire à OA en A et dirigé vers le haut.
AB a donc tourné de +π/2 par rapport à la ligne u pour tenir compte du déphasage de iCp par rapport à u, déphasage valant justement +π/2 radian.
À l'étape précédente, nous avions positionné OA sur la ligne u car le déphasage de iRp par rapport à u était nul.

Étape 3

Toujours avec la même échelle, traçons AD avec AD = 1/(Lpω), la valeur en siemens de la susceptance BLp de la bobine Lp. AD est perpendiculaire à OA en A et dirigé vers le bas.
AD a donc tourné de −π/2 par rapport à la ligne u pour tenir compte du déphasage de iLp par rapport à u, déphasage valant justement −π/2 radian.

Étape 4

Reportons à partir de B et vers le bas une longueur égale à AD afin d'obtenir le point C : BC = AD. Maintenant, suivons le trajet fléché depuis le point O :
- de O à A pour Gp = 1/Rp,
- de A à B pour Cpω, vers le haut,
- de B à C pour 1/(Lpω), vers le bas.

Avec la même échelle en siemens, l'admittance Yp du circuit RpLpCp parallèle est égale à la longueur OC.

Le triangle OAC est rectangle en A. Appliquons-lui le théorème de Pythagore : « Le carré de l'hypothénuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés », en rappelant que l'hypothénuse est le côté « qui regarde » l'angle droit, ici OC :

$\boldsymbol{O{{C}^{2}}=O{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}$

Il nous reste à calculer la longueur AC :

$\boldsymbol{AC=AB-BC={{C}_{p}}\omega -\frac{1}{{{{L}_{p}}\omega }}}$

Par conséquent :

$\boldsymbol{{{Y}_{p}}^{2}=O{{C}^{2}}=O{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}={{G}_{p}}^{2}+{{\left( {{{C}_{p}}\omega -\frac{1}{{{{L}_{p}}\omega }}} \right)}^{2}}}$

et finalement (Yp ≥ 0) :

$\boxed{\boldsymbol{{{Y}_{p}}=\sqrt{{{{G}_{p}}^{2}+{{{\left( {{{C}_{p}}\omega -\frac{1}{{{{L}_{p}}\omega }}} \right)}}^{2}}}}}}$

Nous retrouvons bien l'expression (1).

Notes
1. Les calculs effectués ci-dessus l'ont été sur des longueurs de segments de droite et dans le cas où Cpω était plus grand que 1/(Lpω).
2. Si au contraire Cpω est plus petit que 1/(Lpω), nous obtenons le diagramme suivant :

Calculons à nouveau la longueur AC :

$\boldsymbol{AC=BC-AB=\frac{1}{{{{L}_{p}}\omega }}-{{C}_{p}}\omega }$

Par conséquent :

$\boldsymbol{{{Y}_{p}}^{2}=O{{C}^{2}}=O{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}={{G}_{p}}^{2}+{{\left( {\frac{1}{{{{L}_{p}}\omega }}-{{C}_{p}}\omega } \right)}^{2}}}$

Et comme

$\boldsymbol{{{\left( {\frac{1}{{{{L}_{p}}\omega }}-{{C}_{p}}\omega } \right)}^{2}}={{\left[ {-\left( {{{C}_{p}}\omega -\frac{1}{{{{L}_{p}}\omega }}} \right)} \right]}^{2}}={{\left( {{{C}_{p}}\omega -\frac{1}{{{{L}_{p}}\omega }}} \right)}^{2}}}$

nous retrouvons bien l'expression (1) :

$\boxed{\boldsymbol{{{Y}_{p}}=\sqrt{{{{G}_{p}}^{2}+{{{\left( {{{C}_{p}}\omega -\frac{1}{{{{L}_{p}}\omega }}} \right)}}^{2}}}}}}$

3. Une caractéristique fondamentale : la fréquence de résonance
Il existe une et une seule pulsation remarquable ω0p satisfaisant la condition suivante :

(3) $\begin{equation*} \boxed{\boldsymbol{{{C}_{p}}{{\omega }_{{{{0}_{p}}}}}=\frac{1}{{{{L}_{p}}{{\omega }_{{{{0}_{p}}}}}}}}} \end{equation*}$

Cette condition peut également s'écrire ainsi :

$\boxed{\boldsymbol{{{L}_{p}}{{C}_{p}}{{\omega }_{{{{0}_{p}}}}}^{2}=1}}$

ou encore :

$\boldsymbol{{{\omega }_{{{{0}_{p}}}}}=\frac{1}{{\sqrt{{{{L}_{p}}{{C}_{p}}}}}}=2\pi {{F}_{{{{0}_{p}}}}}}$

F0p est appelée « fréquence de résonance » du circuit LpCp et s'exprime donc de la façon suivante :

$\boxed{\boldsymbol{{{F}_{{{{0}_{p}}}}}=\frac{1}{{2\pi \sqrt{{{{L}_{p}}{{C}_{p}}}}}}}}$

C'est « la formule de Thomson ».

Reprenons le circuit série RsLsCs de la causerie précédente et sa fréquence de résonance F0s :

$\boldsymbol{{{F}_{{{{0}_{s}}}}}=\frac{1}{{2\pi \sqrt{{{{L}_{s}}{{C}_{s}}}}}}}$

Si LpCp = LsCs et plus particulièrement si Lp = Ls et Cp = Cs alors F0p = F0s : les circuits série et parallèle ont alors la même fréquence de résonance.

Dans notre exemple, la fréquence de résonance F0p est égale à 500 kHz.

Évolution de la fréquence de résonance quand on fait varier l'inductance Lp et/ou la capacité Cp
L'inductance Lp et la capacité Cp étant au dénominateur de la formule de Thomson, nous en déduisons immédiatement les comportements suivants :
- quand on augmente l'inductance Lp et/ou la capacité Cp, la fréquence de résonance diminue,
- quand on diminue l'inductance Lp et/ou la capacité Cp, la fréquence de résonance augmente.

De plus l'inductance Lp et la capacité Cp apparaissant sous la forme de leur racine carrée, nous pouvons préciser (à titre d'exemples) :
- quand on multiplie par 4 l'inductance Lp ou la capacité Cp, la fréquence de résonance est divisée par 2,
- quand on divise par 4 l'inductance Lp ou la capacité Cp, la fréquence de résonance est multipliée par 2.

Propriété fondamentale du circuit RpLpCp parallèle à la fréquence de résonance
À la fréquence de résonance F0p et donc à la pulsation ω0p, la condition suivante est remplie :

$\boldsymbol{{{C}_{p}}{{\omega }_{{{{0}_{p}}}}}=\frac{1}{{{{L}_{p}}{{\omega }_{{{{0}_{p}}}}}}}}$

donc

$\boldsymbol{{{\left( {{{C}_{p}}{{\omega }_{{{{0}_{p}}}}}-\frac{1}{{{{L}_{p}}{{\omega }_{{{{0}_{p}}}}}}}} \right)}^{2}}=0}$

et par conséquent l'expression (1) devient :

$\boldsymbol{{{Y}_{p}}=\sqrt{{{{G}_{p}}^{2}}}={{G}_{p}}}$

ce qui donne :

$\boldsymbol{{{Z}_{p}}={{R}_{p}}}$

Autrement dit, à la fréquence de résonance, le circuit RpLpCp parallèle se réduit… à sa résistance parallèle.

Ce résultat est d'ailleurs immédiatement visible sur les diagrammes de Fresnel précédents. En effet, si AB = AD, le point C se retrouve en A et Yp = OC = OA = 1/Rp et donc Zp = Rp !
Dans notre exemple, l'impédance est alors égale à 253,25 kΩ.

4. Graphe de l'impédance Zp en fonction de la fréquence, allure générale
Il suffit de calculer l'impédance Zp pour différentes valeurs de la fréquence F en remplaçant dans l'expression (2) ω par 2πF. Il est souvent commode de tracer le graphe de Zp/Rp en fonction de F/F0p, F0p étant la fréquence de résonance :

À la fréquence de résonance, F = F0p donc F/F0p = 1 et Zp = Rp. Par conséquent, Zp/Rp = 1. C'est le point le plus haut de la courbe. De part et d'autre de cette fréquence de résonance, l'impédance Zp diminue.

Autre type de graphe : l'axe horizontal est gradué de façon logarithmique (cf. les causeries sur les filtres RC et RL) tandis que l'axe vertical est gradué en décibels :

$\boldsymbol{\frac{{{{Z}_{p}}}}{{{{R}_{p}}}}\textbf{ (dB)}=20\log \left( {\frac{{{{Z}_{p}}}}{{{{R}_{p}}}}} \right)}$

5. Coefficient (ou facteur) de qualité
Voici la définition du « coefficient (ou facteur) de qualité » Qp de l'ensemble parallèle LpRp :

$\boxed{\boldsymbol{{{Q}_{p}}=\frac{{{{R}_{p}}}}{{{{L}_{p}}\omega }}}}$

On divise donc des ohms par des ohms. Par conséquent Qp est un nombre sans dimension (c.-à-d. sans unité de mesure).

Considérons notre condensateur Cp comme parfait. Le coefficient (ou facteur) de qualité Qp devient celui du circuit RpLpCp. À la fréquence de résonance F0p, Qp s'appellera Q0p :

(4) $\begin{equation*} \boxed{\boldsymbol{{{Q}_{{{{0}_{p}}}}}=\frac{{{{R}_{p}}}}{{{{L}_{p}}{{\omega }_{{{{0}_{p}}}}}}}}}} \end{equation*}$

Grâce à la relation (3), le coefficient Q0p peut aussi s'exprimer de la façon suivante :

$\boxed{\boldsymbol{{{Q}_{{{{0}_{p}}}}}={{R}_{p}}{{C}_{p}}{{\omega }_{{0{}_{p}}}}}}$

Dans notre exemple, Q0p est égal à 79,6 (valeur arrondie).

6. Largeur de bande (ou bande passante)
Voici un zoom du graphe à proximité de la fréquence de résonance :

Ici l'axe horizontal est gradué de manière classique (linéairement) et représente la fréquence F et non plus F/F0p. L'axe vertical Zp/Rp est gradué en décibels.

Considérons une valeur d'impédance Z1 telle que :

$\boldsymbol{{{Z}_{1}}=\frac{{{{R}_{p}}}}{{\sqrt{2}}}}$

Le rapport Zp/Rp vaut alors :

$\boldsymbol{\frac{{{{Z}_{p}}}}{{{{R}_{p}}}}=\frac{{{{Z}_{1}}}}{{{{R}_{p}}}}=\frac{{{{R}_{p}}}}{{\sqrt{2}{{R}_{p}}}}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}}$

ou encore, en décibels :

$\boldsymbol{\frac{{{{Z}_{p}}}}{{{{R}_{p}}}}\textbf{ (dB)}=20\log (\frac{1}{{\sqrt{2}}})=20\log {{2}^{{-1/2\ }}}=-\frac{1}{2}\times 20\log 2=-3}$

Sur notre graphe, il s'agira donc des deux points de la courbe où Zp/Rp vaut −3 dB. Ces points correspondent aux fréquences F1 et F2.

On définit ainsi « la largeur de bande (ou la bande passante) B à −3 dB » :

$\boxed{\boldsymbol{B=\Delta F={{F}_{2}}-{{F}_{1}}}}$

Le calcul permet d'obtenir la formule suivante, fort utile en pratique :

(5) $\begin{equation*} \boxed{\boldsymbol{B=\frac{{{{F}_{{{{0}_{p}}}}}}}{{{{Q}_{{{{0}_{p}}}}}}}}} \end{equation*}$

Dans notre exemple (valeurs arrondies) :
B = 6,3 kHz,
F1 = F0p − B/2 = 496,9 kHz,
F2 = F0p + B/2 = 503,2 kHz.
Nous retrouvons bien ces valeurs sur le graphe.

Note : considérer que B se répartit par moitié de chaque côté de F0p n'est valable que si Q0p2 est très grand devant 1, ce qui est le cas dans notre exemple (79,6 × 79,6 = environ 6336).

Influence de la valeur de Rp sur la largeur de bande
D'après la définition (4), plus la valeur de Rp est grande, plus le coefficient de qualité Q0p est élevé et d'après la formule (5), plus la largeur de bande B est étroite.

Remarquons que l'expression (4) peut s'écrire de la manière suivante :

$\boxed{\boldsymbol{{{Q}_{{{{0}_{p}}}}}=\frac{{{{F}_{{{{0}_{p}}}}}}}{B}}}$

Ainsi, ayant mesuré F0p et B, il est possible d'obtenir la valeur du coefficient (ou facteur) de qualité de la bobine Lp à la fréquence F0p.

7. En pratique : le circuit hybride « série-parallèle »
Dans notre circuit RpLpCp parallèle, la résistance Rp représente plutôt les pertes du condensateur Cp. Or pour un condensateur de bonne qualité ces pertes sont très faibles, du moins comparées aux pertes de la bobine Lp, si ce n'est à cause de l'effet de peau.
Il est alors plus commode de recourir à un schéma hybride : une résistance Rs et une bobine Ls sont connectées en série et le tout est connecté en parallèle sur un condensateur que nous appellerons tout simplement C. La résistance série Rs représente maintenant les pertes du composant bobine, y compris bien entendu celles dues à l'effet de peau :

Soit Qs le coefficient (ou facteur) de qualité de la bobine Ls à la pulsation ω :

$\boldsymbol{{{Q}_{s}}=\frac{{{{L}_{s}}\omega }}{{{{R}_{s}}}}}$

On démontre que si

$\boldsymbol{{{R}_{p}}={{R}_{s}}\left( {1+{{Q}_{s}}^{2}} \right)}$

et si

$\boldsymbol{{{L}_{p}}={{L}_{s}}\left( {1+\frac{1}{{{{Q}_{s}}^{2}}}} \right)}$

le schéma « tout parallèle » suivant est alors 100 % équivalent au schéma hybride précédent :

Le condensateur C est le même pour les deux schémas. C'est pour cela qu'il ne porte pas d'indice.
Les deux circuits ont le même coefficient (ou facteur) de qualité Q quelle que soit la pulsation ω et donc quelle que soit la fréquence F :

$\boldsymbol{{{Q}_{s}}=\frac{{{{L}_{s}}\omega }}{{{{R}_{s}}}}={{Q}_{p}}=\frac{{{{R}_{p}}}}{{{{L}_{p}}\omega }}=Q}$

Les deux circuits ont aussi la même pulsation de résonance ω0 et la même fréquence de résonance F0 :

$\boldsymbol{{{L}_{p}}C{{\omega }_{0}}^{2}=1 \qquad {{F}_{0}}=\frac{1}{{2\pi \sqrt{{{{L}_{p}}C}}}}}$

Et bien entendu la même bande passante à −3 dB puisque cette dernière est égale à la fréquence de résonance divisée par le coefficient (ou facteur) de qualité à cette fréquence.

8. Cas particulier du circuit hybride « série-parallèle » mais cas très usuel
Appellons Q0 le coefficient (ou facteur) de qualité à la pulsation de résonance ω0 :

$\boldsymbol{{{Q}_{0}}=\frac{{{{L}_{s}}{{\omega }_{0}}}}{{{{R}_{s}}}}}$

On démontre alors que

$\boxed{\boldsymbol{\textbf{si }{{Q}_{0}}^{2}\gg 1\textbf{ alors }{{L}_{p}}\sim {{L}_{s}}\textbf{ ; }{{R}_{p}}\sim {{R}_{s}}{{Q}_{0}}^{2}\textbf{ ; }{{L}_{s}}C{{\omega }_{0}}^{2}\sim 1\textbf{ et }{{F}_{0}}\sim \frac{1}{{2\pi \sqrt{{{{L}_{s}}C}}}}}}$

Une fois cette pulsation de résonance ω0 calculée, il faut vérifier si l'hypothèse choisie est bien vérifiée, à savoir :

$\boxed{\boldsymbol{{{Q}_{0}}^{2}={{\left( {\frac{{{{L}_{s}}{{\omega }_{0}}}}{{{{R}_{s}}}}} \right)}^{2}}\gg 1}}$

À noter que dans ce cas, les fréquences de coupure à −3 dB sont symétriques par rapport à la fréquence de résonance.

En résumé :
- calculer la valeur éventuelle de la pulsation de résonance :

$\boldsymbol{{{\omega }_{0}}=\frac{1}{{\sqrt{{{{L}_{s}}C}}}}}$

- calculer le carré du coefficient (ou facteur) de qualité à cette pulsation de résonance :

$\boldsymbol{{{Q}_{0}}^{2}={{\left( {\frac{{{{L}_{s}}{{\omega }_{0}}}}{{{{R}_{s}}}}} \right)}^{2}}}$

- si la valeur trouvée est très grande devant 1, alors la pulsation de résonance qui vient d'être calculée est la bonne,

- à la fréquence de résonance et au voisinage de cette fréquence, le circuit hybride RsLs-C est entièrement équivalent au circuit parallèle RpLsC suivant :

Remarque
Toujours dans notre cas particulier mais très usuel :

$\boldsymbol{{{Q}_{0}}^{2}={{\left( {\frac{{{{L}_{s}}{{\omega }_{0}}}}{{{{R}_{s}}}}} \right)}^{2}}=\frac{{{{L}_{s}}^{2}{{\omega }_{0}}^{2}}}{{{{R}_{s}}^{2}}}=\frac{{{{L}_{s}}^{2}}}{{{{R}_{s}}^{2}{{L}_{s}}C}}=\frac{{{{L}_{s}}}}{{{{R}_{s}}^{2}C}}}$

donc

$\boldsymbol{{{Q}_{0}}^{2}=\frac{{{{L}_{s}}}}{{{{R}_{s}}^{2}C}}}$

quantité qu'il est possible de calculer directement dès le départ pour savoir si la condition est remplie !

Exemple numérique
Reprenons les valeurs du circuit série (causerie précédente) :
Rs = 40 Ω,
Ls = 1 mH (plus exactement 1,013 mH),
C = 100 pF.

Calculons la valeur éventuelle de la pulsation de résonance : ω0 = 3141921,118 rad/s environ et le carré du coefficient (ou facteur) de qualité à cette pulsation de résonance : Q02 = 6331,25.
Cette valeur est bien très grande devant 1 et nous pouvons donc établir le schéma parallèle équivalent avec les composants suivants :
Rp = 40 × 6331,25 = 253250 Ω = 253,25 kΩ,
Lp = Ls = 1,013 mH,
Cp = C = 100 pF.

Or ce sont les valeurs que nous avions choisies au début de cette causerie pour notre circuit parallèle classique. Il est donc tout à fait logique que nous ayons retrouvé les mêmes résultats (coefficient ou facteur de qualité, fréquence de résonance, bande passante).

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