Formation à l'examen : circuit RLC série, en régime sinusoïdal - Radio-Club de Viry-Châtillon (91)

Formation à l’examen : circuit RLC série, en régime sinusoïdal

par F5FOD, Jean-Pierre Waymel

Avertissement
Une impédance Z s'exprime mathématiquement au moyen d'un nombre complexe contenant deux informations :
- son module |Z| : c'est la valeur de l'impédance, en ohms,
- son argument φ : c'est le déphasage de la tension par rapport au courant. Il s'agit donc d'un angle, en radians ou en degrés.
Par défaut, à partir de cette causerie, l'expression « module de l'impédance » sera remplacée par le seul terme « impédance », noté Z en abrégé.

1. Circuit RsLsCs série (indice « s » pour « série »)
Nous allons calculer l'impédance Zs du circuit suivant :

Il s'agit donc de trois composants connectés en série :
- une résistance Rs,
- une bobine Ls,
- un condensateur Cs.

À titre d'exemple, nous prendrons des composants ayant les valeurs suivantes :
Rs = 40 Ω,
Ls = 1 mH (plus exactement 1,013 mH),
Cs = 100 pF.

Ce circuit est parcouru par un courant sinusoïdal i de valeur maximale imax et de pulsation ω = 2πF, F étant la fréquence.

uRs est la tension aux bornes de la résistance Rs. Cette tension est :
- sinusoïdale,
- de même pulsation ω donc de même fréquence F,
- en phase avec le courant i. Par conséquent, le déphasage de uRs par rapport à i est égal à 0° soit 0 radian.

uLs est la tension aux bornes de la bobine Ls. Cette tension est :
- sinusoïdale,
- de même pulsation ω donc de même fréquence F,
- en quadrature avance par rapport au courant i. Par conséquent, le déphasage de uLs par rapport à i est égal à +90° soit +π/2 radian.

uCs est la tension aux bornes du condensateur Cs. Cette tension est :
- sinusoïdale,
- de même pulsation ω donc de même fréquence F,
- en quadrature retard par rapport au courant i. Par conséquent, le déphasage de uCs par rapport à i est égal à −90° soit −π/2 radian.

u est la tension aux bornes de l'ensemble RsLsCs.
On devrait pouvoir écrire : u = uRs + uLs + uCs puisque les trois composants sont en série. MAIS ces trois tensions uRs, uLs et uCs n'étant pas en phase, on ne peut absolument pas faire cette simple addition !
Par le calcul trigonométrique (et beaucoup plus facilement en utilisant les nombres complexes), on arrive à la formule suivante :

$\boldsymbol{{{u}_{{\max }}}={{i}_{{\max }}}\sqrt{{{{R}_{s}}^{2}+{{{\left( {{{L}_{s}}\omega -\frac{1}{{{{C}_{s}}\omega }}} \right)}}^{2}}}}}$

Ce qui nous permet d'obtenir l'impédance Zs de l'ensemble RsLsCs série :

(1) $\begin{equation*} \boxed{\boldsymbol{{{Z}_{s}}=\frac{{{{u}_{{\max }}}}}{{{{i}_{{\max }}}}}=\sqrt{{{{R}_{s}}^{2}+{{{\left( {{{L}_{s}}\omega -\frac{1}{{{{C}_{s}}\omega }}} \right)}}^{2}}}}}}} \end{equation*}$

Comment retenir cette formule ?
Il existe un moyen bien commode de la retrouver au moyen d'une construction géométrique simple appelée « diagramme de Fresnel ».

2. Obtention de l'impédance Zs au moyen du diagramme de Fresnel
Étape 1

À partir d'un point O, traçons une ligne horizontale vers la droite. Ce sera la référence de phase, c'est-à-dire la phase à l'origine du courant i. D'où le « i » rappelé au bout de cette ligne.
Graduons cet axe en ohms (graduations non représentées sur le diagramme ci-dessus). La longueur OA représentera la valeur en ohms de la résistance Rs. Autrement dit OA = Rs.

Étape 2

Avec la même échelle, traçons AB avec AB = Lsω, la valeur en ohms de la réactance XLs de la bobine Ls. AB est perpendiculaire à OA en A et dirigé vers le haut.
AB a donc tourné de +π/2 par rapport à la ligne i pour tenir compte du déphasage de uLs par rapport à i, déphasage valant justement +π/2 radian.
À l'étape précédente, nous avions positionné OA sur la ligne i car le déphasage de uRs par rapport à i était nul.

Étape 3

Toujours avec la même échelle, traçons AD avec AD = 1/(Csω), la valeur en ohms de la réactance XCs du condensateur Cs. AD est perpendiculaire à OA en A et dirigé vers le bas.
AD a donc tourné de −π/2 par rapport à la ligne i pour tenir compte du déphasage de uCs par rapport à i, déphasage valant justement −π/2 radian.

Étape 4

Reportons à partir de B et vers le bas une longueur égale à AD afin d'obtenir le point C : BC = AD. Maintenant, suivons le trajet fléché depuis le point O :
- de O à A pour Rs,
- de A à B pour Lsω, vers le haut,
- de B à C pour 1/(Csω), vers le bas.

Avec la même échelle en ohms, l'impédance Zs du circuit RsLsCs série est égale à la longueur OC.

Le triangle OAC est rectangle en A. Appliquons-lui le théorème de Pythagore : « Le carré de l'hypothénuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés », en rappelant que l'hypothénuse est le côté « qui regarde » l'angle droit, ici OC :

$\boldsymbol{O{{C}^{2}}=O{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}$

Il nous reste à calculer la longueur AC :

$\boldsymbol{AC=AB-BC={{L}_{s}}\omega -\frac{1}{{{{C}_{s}}\omega }}}$

Par conséquent :

$\boldsymbol{{{Z}_{s}}^{2}=O{{C}^{2}}=O{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}={{R}_{s}}^{2}+{{\left( {{{L}_{s}}\omega -\frac{1}{{{{C}_{s}}\omega }}} \right)}^{2}}}$

et finalement (Zs ≥ 0) :

$\boxed{\boldsymbol{{{Z}_{s}}=\sqrt{{{{R}_{s}}^{2}+{{{\left( {{{L}_{s}}\omega -\frac{1}{{{{C}_{s}}\omega }}} \right)}}^{2}}}}}}$

Nous retrouvons bien l'expression (1).

Notes
1. Les calculs effectués ci-dessus l'ont été sur des longueurs de segments de droite et dans le cas où Lsω était plus grand que 1/(Csω).
2. Si au contraire Lsω est plus petit que 1/(Csω), nous obtenons le diagramme suivant :

Calculons à nouveau la longueur AC :

$\boldsymbol{AC=BC-AB=\frac{1}{{{{C}_{s}}\omega }}-{{L}_{s}}\omega}$

Par conséquent :

$\boldsymbol{{{Z}_{s}}^{2}=O{{C}^{2}}=O{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}={{R}_{s}}^{2}+{{\left( {\frac{1}{{{{C}_{s}}\omega }}-{{L}_{s}}\omega } \right)}^{2}}}$

Et comme

$\boldsymbol{{{\left( {\frac{1}{{{{C}_{s}}\omega }}-{{L}_{s}}\omega } \right)}^{2}}={{\left[ {-\left( {{{L}_{s}}\omega -\frac{1}{{{{C}_{s}}\omega }}} \right)} \right]}^{2}}={{\left( {{{L}_{s}}\omega -\frac{1}{{{{C}_{s}}\omega }}} \right)}^{2}}}$

nous retrouvons bien l'expression (1) :

$\boxed{\boldsymbol{{{Z}_{s}}=\sqrt{{{{R}_{s}}^{2}+{{{\left( {{{L}_{s}}\omega -\frac{1}{{{{C}_{s}}\omega }}} \right)}}^{2}}}}}}$

3. Une caractéristique fondamentale : la fréquence de résonance
Il existe une et une seule pulsation remarquable ω0s satisfaisant la condition suivante :

(2) $\begin{equation*} \boxed{\boldsymbol{{{L}_{s}}{{\omega }_{{{{0}_{s}}}}}=\frac{1}{{{{C}_{s}}{{\omega }_{{{{0}_{s}}}}}}}}} \end{equation*}$

Cette condition peut également s'écrire ainsi :

$\boxed{\boldsymbol{{{L}_{s}}{{C}_{s}}{{\omega }_{{{{0}_{s}}}}}^{2}=1}}$

ou encore :

$\boldsymbol{{{\omega }_{{{{0}_{s}}}}}=\frac{1}{{\sqrt{{{{L}_{s}}{{C}_{s}}}}}}=2\pi {{F}_{{{{0}_{s}}}}}}$

F0s est appelée « fréquence de résonance » du circuit LsCs et s'exprime donc de la façon suivante :

$\boxed{\boldsymbol{{{F}_{{{{0}_{s}}}}}=\frac{1}{{2\pi \sqrt{{{{L}_{s}}{{C}_{s}}}}}}}}$

C'est « la formule de Thomson ».
Dans notre exemple, la fréquence de résonance est égale à 500 kHz.

Évolution de la fréquence de résonance quand on fait varier l'inductance Ls et/ou la capacité Cs
L'inductance Ls et la capacité Cs étant au dénominateur de la formule de Thomson, nous en déduisons immédiatement les comportements suivants :
- quand on augmente l'inductance Ls et/ou la capacité Cs, la fréquence de résonance diminue,
- quand on diminue l'inductance Ls et/ou la capacité Cs, la fréquence de résonance augmente.

De plus l'inductance Ls et la capacité Cs apparaissant sous la forme de leur racine carrée, nous pouvons préciser (à titre d'exemples) :
- quand on multiplie par 4 l'inductance Ls ou la capacité Cs, la fréquence de résonance est divisée par 2,
- quand on divise par 4 l'inductance Ls ou la capacité Cs, la fréquence de résonance est multipliée par 2.

Propriété fondamentale du circuit RsLsCs série à la fréquence de résonance
À la fréquence de résonance F0s et donc à la pulsation ω0s, la condition suivante est remplie :

$\boldsymbol{{{L}_{s}}{{\omega }_{{{{0}_{s}}}}}=\frac{1}{{{{C}_{s}}{{\omega }_{{{{0}_{s}}}}}}}}$

donc

$\boldsymbol{{{\left( {{{L}_{s}}{{\omega }_{{{{0}_{s}}}}}-\frac{1}{{{{C}_{s}}{{\omega }_{{{{0}_{s}}}}}}}} \right)}^{2}}=0}$

et par conséquent l'expression (1) devient :

$\boldsymbol{{{Z}_{s}}={{Z}_{{{{0}_{s}}}}}=\sqrt{{{{R}_{s}}^{2}}}={{R}_{s}}}$

Autrement dit, à la fréquence de résonance, le circuit RsLsCs série se réduit… à sa résistance série.

Ce résultat est d'ailleurs immédiatement visible sur les diagrammes de Fresnel précédents. En effet, si AB = AD, le point C se retrouve en A et Z = OC = OA = Rs !
Dans notre exemple, l'impédance est alors égale à 40 Ω.

4. Graphe de l'impédance Zs en fonction de la fréquence, allure générale
Il suffit de calculer l'impédance Zs pour différentes valeurs de la fréquence F en remplaçant dans l'expression (1) ω par 2πF. Il est souvent commode de tracer le graphe de Zs/Rs en fonction de F/F0s, F0s étant la fréquence de résonance :

À la fréquence de résonance, F = F0s donc F/F0s = 1 et Zs = Rs. Par conséquent, Zs/Rs = 1. C'est le point le plus bas de la courbe (la valeur « 1 » se confond ici avec la valeur « 0 », mais ceci n'est dû qu'au choix de la graduation de l'axe vertical…). De part et d'autre de cette fréquence de résonance, l'impédance Zs augmente.

Autre type de graphe : l'axe horizontal est gradué de façon logarithmique (cf. les causeries sur les filtres RC et RL) tandis que l'axe vertical est gradué en décibels :

$\boldsymbol{\frac{{{{Z}_{s}}}}{{{{R}_{s}}}}\textbf{ (dB)}=20\log \left( {\frac{{{{Z}_{s}}}}{{{{R}_{s}}}}} \right)}$

5. Coefficient (ou facteur) de qualité
Supposons maintenant que la résistance Rs représente la résistance du fil de la bobine Ls. Attention : en régime sinusoïdal, il faut tenir compte de l'effet de peau qui augmente sensiblement la valeur de cette résistance !
Rappelons aussi que l'épaisseur de peau est inversement proportionnelle à la racine carrée de la fréquence (par exemple : quand la fréquence est multipliée par 4, cette épaisseur est divisée par 2).

Voici la définition du « coefficient (ou facteur) de qualité » Qs de la bobine Ls :

$\boxed{\boldsymbol{{{Q}_{s}}=\frac{{{{L}_{s}}\omega }}{{{{R}_{s}}}}}}$

On divise donc des ohms par des ohms. Par conséquent Qs est un nombre sans dimension (c.-à-d. sans unité de mesure).

Considérons notre condensateur Cs comme parfait. Le coefficient (ou facteur) de qualité Qs devient celui du circuit RsLsCs. À la fréquence de résonance F0s, Qs s'appellera Q0s :

(3) $\begin{equation*} \boxed{\boldsymbol{{{Q}_{{{{0}_{s}}}}}=\frac{{{{L}_{s}}{{\omega }_{{{{0}_{s}}}}}}}{{{{R}_{s}}}}}} \end{equation*}$

Grâce à la relation (2), le coefficient Q0s peut aussi s'exprimer de la façon suivante :

$\boxed{\boldsymbol{{{Q}_{{{{0}_{s}}}}}=\frac{1}{{{{R}_{s}}{{C}_{s}}{{\omega }_{{{{0}_{s}}}}}}}}}$

Dans notre exemple, Q0s est égal à 79,6 (valeur arrondie).

6. Largeur de bande (ou bande passante)
Voici un zoom du graphe à proximité de la fréquence de résonance :

Ici l'axe horizontal est gradué de manière classique (linéairement) et représente la fréquence F et non plus F/F0s. L'axe vertical Zs/Rs est gradué en décibels.

Considérons une valeur d'impédance Z1 telle que :

$\boldsymbol{{{Z}_{1}}={{R}_{s}}\times \sqrt{2}}$

Le rapport Zs/Rs vaut alors :

$\boldsymbol{\frac{{{{Z}_{s}}}}{{{{R}_{s}}}}=\frac{{{{Z}_{1}}}}{{{{R}_{s}}}}=\frac{{{{R}_{s}}\times \sqrt{2}}}{{{{R}_{s}}}}=\sqrt{2}}$

ou encore, en décibels :

$\boldsymbol{\frac{{{{Z}_{s}}}}{{{{R}_{s}}}}\textbf{ (dB)}=20\log (\sqrt{2})=20\log {{2}^{{1/2\ }}}=\frac{1}{2}\times 20\log 2=3}$

Sur notre graphe, il s'agira donc des deux points de la courbe où Zs/Rs vaut 3 dB. Ces points correspondent aux fréquences F1 et F2.

On définit ainsi « la largeur de bande (ou la bande passante) B à 3 dB » :

$\boxed{\boldsymbol{B=\Delta F={{F}_{2}}-{{F}_{1}}}}$

Le calcul permet d'obtenir la formule suivante, fort utile en pratique :

(4) $\begin{equation*} \boxed{\boldsymbol{B=\frac{{{{F}_{{{{0}_{s}}}}}}}{{{{Q}_{{{{0}_{s}}}}}}}}} \end{equation*}$

Dans notre exemple (valeurs arrondies) :
B = 6,3 kHz,
F1 = F0s − B/2 = 496,9 kHz,
F2 = F0s + B/2 = 503,2 kHz.
Nous retrouvons bien ces valeurs sur le graphe.

Note : considérer que B se répartit par moitié de chaque côté de F0s n'est valable que si Q0s2 est très grand devant 1, ce qui est le cas dans notre exemple (79,6 × 79,6 = environ 6336).

Influence de la valeur de Rs sur la largeur de bande
D'après la définition (3), plus la valeur de Rs est petite, plus le coefficient de qualité Q0s est élevé et d'après la formule (4), plus la largeur de bande B est étroite.

Remarquons que l'expression (4) peut s'écrire de la manière suivante :

$\boxed{\boldsymbol{{{Q}_{{{{0}_{s}}}}}=\frac{{{{F}_{{{{0}_{s}}}}}}}{B}}}$

Ainsi, ayant mesuré F0s et B, il est possible d'obtenir la valeur du coefficient (ou facteur) de qualité de la bobine Ls à la fréquence F0s.

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