Radio-Club de Viry-Châtillon (91) - F5KEE

par F5FOD, Jean-Pierre Waymel

La loi d'Ohm sous toutes ses formes
Quand on connaît les valeurs de la résistance R et du courant I qui la traverse
La tension U aux bornes de la résistance R est alors donnée par la loi d'Ohm :

   

ou plus simplement :

(1)  

Quand on connaît les valeurs de la résistance R et de la tension U à ses bornes
Quelle est la valeur du courant I qui traverse la résistance ?
Divisons les 2 membres de l'égalité (1) par R (cf. la règle 4) :

   

puis simplifions le membre de droite par R (cf. la règle 7) :

   

que nous pouvons bien entendu écrire :

(2)  

On peut vérifier rapidement que l'on ne s'est pas trompé en effectuant le produit en croix de la façon suivante :

   

Quand on connaît les valeurs de la tension U aux bornes de la résistance et du courant I qui la traverse
Quelle est la valeur de la résistance R ?
Divisons les 2 membres de l'égalité (1) par I (cf. la règle 4) :

   

puis simplifions le membre de droite par I (cf. la règle 7) :

   

que nous pouvons bien entendu écrire :

(3)  

On peut vérifier rapidement que l'on ne s'est pas trompé en effectuant le produit en croix de la façon suivante :

   

Exercice
Soit une résistance de 47 Ω connectée à une pile de 9 V.
On mesure 8,5 V aux bornes de cette résistance.
Quelle est la résistance interne de la pile ?

Méthode 1 : sans calcul littéral
Premier acte : dessiner un schéma

La résistance r est la résistance interne de la pile.
« + » et « − » représentent les bornes de la pile.
Le « + » est connecté à la résistance de 47 Ω en B.
Le « − » est connecté à la résistance de 47 Ω en C.
Le point A ou « ++ » est à l'intérieur de la pile.
Les 9 V correspondent à la force électromotrice de la pile (sa tension à vide). Deuxième acte : visualiser le courant

Les deux résistances sont connectées en série.
Le courant part du « ++ » de la pile, traverse la résistance r puis la résistance de 47 Ω et retourne à la pile via son pôle « − ».
D'où les flèches du courant dessinées sur les connexions. Troisième acte : visualiser les tensions

À l'extérieur de la pile, les tensions doivent être représentées par des flèches orientées en sens inverse du courant.
D'où les flèches dessinées à côté de la résistance interne r et à côté de la résistance de 47 Ω.
Quant à la pile elle-même, sa f.é.m. de 9 V est représentée par une flèche orientée vers le « ++ ». Quatrième acte : calculer la résistance interne r
Pour trouver la valeur de la résistance interne r, il suffit de calculer le courant qui la traverse et la tension à ses bornes puis de lui appliquer la loi d'Ohm selon sa version (3) ! Le courant qui traverse la résistance interne r est le même que celui qui traverse la résistance de 47 Ω.
Appliquons donc la loi d'Ohm version (2) à cette résistance de 47 Ω :
courant dans r = 8,5 / 47 = 0,18085... A soit environ 0,181 A ou 181 mA. Comme il y a 9 V entre A et C et 8,5 V entre B et C, il reste aux bornes de la résistance interne r la tension suivante :
tension aux bornes de r = 9 − 8,5 = 0,5 V. On en déduit la valeur de la résistance interne r :
r = (tension aux bornes de r) / (courant dans r) = 0,5 / 0,181 = 2,76243... Ω soit environ 2,8 Ω.

Méthode 2 : avec calcul littéral
Premier acte : dessiner un schéma

La résistance r est la résistance interne de la pile.
« + » et « − » représentent les bornes de la pile.
Le « + » est connecté à la résistance R en B.
Le « − » est connecté à la résistance R en C.
Le point A ou « ++ » est à l'intérieur de la pile.
E est la force électromotrice de la pile (sa tension à vide). Deuxième acte : visualiser le courant

Les deux résistances sont connectées en série.
Le courant I part du « ++ » de la pile, traverse r puis R et retourne à la pile via son pôle « − ».
D'où les flèches dessinées sur les connexions. Troisième acte : visualiser les tensions

À l'extérieur de la pile, les tensions doivent être représentées par des flèches orientées en sens inverse du courant.
D'où la flèche u dessinée à côté de r et la flèche U dessinée à côté de R.
Quant à la pile elle-même, sa f.é.m. E est représentée par une flèche orientée vers le « ++ ». Quatrième acte : calculer l'expression générale de la résistance interne r
Pour trouver la valeur de la résistance interne r, il suffit de calculer le courant qui la traverse et la tension à ses bornes puis de lui appliquer la loi d'Ohm selon sa version (3) ! Le courant I qui traverse r est le même que celui qui traverse R.
Appliquons donc la loi d'Ohm version (2) à R :

(4)  

Comme il y a E volts entre A et C et U volts entre B et C, il reste aux bornes de r la tension u suivante :

(5)  

Appliquons la loi d'Ohm version (3) à r :

   

Dans cette expression, remplaçons u par sa valeur fournie en (5) et I par sa valeur fournie en (4) :

   

Nous avons utilisé :
- diviser, c'est multiplier par l'inverse,
- la multiplication de rapports de 2 quantités,
- la commutativité de la multiplication. Finalement, la valeur de la résistance interne r de la pile est fournie par l'expression suivante :

   

À l'avenir, tous ces petits calculs intermédiaires ne seront plus aussi détaillés. En effet, avec un peu de pratique, ils seront automatiques :

   

L'avantage du calcul littéral est qu'il donne un résultat général.
De plus, les phrases utilisées pour décrire les opérations, au sens propre comme au sens figuré, sont beaucoup plus courtes et beaucoup plus simples car chaque élément possède son propre nom :
E, r, R, I, u et U. Cinquième acte : application numérique
E = 9 V
R = 47 Ω
U = 8,5 V
ce qui donne :

   

soit environ 2,8 Ω. Les résultats non arrondis sont un peu différents d'une méthode à l'autre.
Dans la première méthode, nous avions dû calculer au préalable une valeur intermédiaire, valeur que nous avions arrondie : celle du courant I. Cette méthode est donc moins précise mais elle permet cependant d'arriver rapidement au résultat final !

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