Lignes de transmission : câbles coaxiaux

par F5FOD, Jean-Pierre Waymel

Soit un câble coaxial sans pertes :

Formules donnant L en H/m et C en F/m
Voici les formules qui permettent de calculer $\boldsymbol{L}$ et $\boldsymbol{C}$ , l'inductance et la capacité linéiques d'un câble coaxial, à partir de ses caractéristiques physiques :

(1) $\begin{equation*} \boldsymbol{\boxed{L=2\times {{10}^{{-7}}}\ln {\frac{D}{d}} }} \end{equation*}$

(2) $\begin{equation*} \boldsymbol{\boxed{C=\frac{{{{\varepsilon }_{r}}}}{{2\times {{{10}}^{{-7}}}{{c}^{2}}}}\frac{1}{{\ln {\frac{D}{d}}}}}} \end{equation*}$

où $\boldsymbol{d}$ est le diamètre de l'âme (le conducteur central), $\boldsymbol{D}$ le diamètre interne du blindage, $\boldsymbol{{\varepsilon }_{r}}$ la permittivité relative du matériau isolant situé entre l'âme et le blindage et $\boldsymbol{c}$ la vitesse de la lumière dans le vide, soit 299 792 458 m/s.
$\textbf{ln}$ est le logarithme népérien.

Formule donnant la vitesse de phase en m/s
La vitesse de phase $\boldsymbol{{v}_{\varphi }}}$ étant égale à $\boldsymbol{{1}/{{\sqrt{{LC}}}}\;}$ , nous obtenons :

(3) $\begin{equation*} \boldsymbol{\boxed{{{v}_{\varphi }}=c\sqrt{{\frac{1}{{{{\varepsilon }_{r}}}}}}}} \end{equation*}$

En dehors de $\boldsymbol{c}$ , la vitesse de propagation des ondes directe et réfléchie ne dépend donc que de la permittivité relative du matériau isolant situé entre l'âme et le blindage. Ce matériau est aussi appelé tout simplement « le diélectrique » du câble coaxial.

Coefficient de vélocité
La permittivité relative étant un nombre supérieur ou égal à 1, le coefficient $\boldsymbol{\sqrt{{{1}/{{{{\varepsilon }_{r}}}}\;}}}$ appliqué à $\boldsymbol{c}$ est donc inférieur ou égal à 1. Par conséquent, la vitesse de propagation des ondes de tension (et de courant) dans le câble coaxial est inférieure à la vitesse de la lumière dans le vide.
Ce coefficient est appelé « coefficient de vélocité » :

(4) $\begin{equation*} \boldsymbol{\boxed{\textbf{coefficient de v} \textbf{ }\!\!\acute{\mathrm{e}}\!\!\textbf{ } \textbf{locit} \textbf{ }\!\!\acute{\mathrm{e}}\!\!\textbf{ } =\sqrt{{\frac{1}{{{{\varepsilon }_{r}}}}}} }} \end{equation*}$

Pour le PTFE, la permittivité relative $\boldsymbol{{\varepsilon }_{r}}$ est comprise entre 2,0 et 2,1.
Ce qui donne un coefficient de vélocité compris entre 0,707 et 0,690.

Pour le PE (polyéthylène) plein, la permittivité relative $\boldsymbol{{\varepsilon }_{r}}$ est comprise entre 2,2 et 2,4.
Ce qui donne un coefficient de vélocité compris entre 0,674 et 0,646.

Formule donnant l'impédance caractéristique en ohms
L'impédance caractéristique étant égale à $\boldsymbol{{Z}_{c}}=\sqrt{{\frac{L}{C}}}$ , nous obtenons :

(5) $\begin{equation*} \boldsymbol{\boxed{{{Z}_{c}}=2\times {{10}^{{-7}}}c\sqrt{{\frac{1}{{{{\varepsilon }_{r}}}}}}\ln \frac{D}{d}}} \end{equation*}$

On y repère le coefficient de vélocité…

Un exemple concret : le câble coaxial RG142BU
Caractéristiques physiques :
$\boldsymbol{d}$ = 0,94 mm
$\boldsymbol{D}$ = 2,95 mm
Diélectrique : PTFE
$\boldsymbol{{{\varepsilon }_{r}}}$ = 2

Ce qui donne :
$\boldsymbol{L\approx}$ 0,23 µH/m
$\boldsymbol{C\approx}$ 97 pF/m
Coefficient de vélocité $\boldsymbol{\approx}$ 0,71
$\boldsymbol{{v}_{\varphi }}\approx}$ 211 985 km/s
$\boldsymbol{{Z}_{c}\approx}$ 48,5 Ω

Un autre exemple concret : le câble coaxial RG223U
Caractéristiques physiques :
$\boldsymbol{d}$ = 0,90 mm
$\boldsymbol{D}$ = 2,95 mm
Diélectrique : PE plein
$\boldsymbol{{{\varepsilon }_{r}}}$ = 2,3

Ce qui donne :
$\boldsymbol{L\approx}$ 0,24 µH/m
$\boldsymbol{C\approx}$ 108 pF/m
Coefficient de vélocité $\boldsymbol{\approx}$ 0,66
$\boldsymbol{{v}_{\varphi }}\approx}$ 197 677 km/s
$\boldsymbol{{Z}_{c}\approx}$ 47 Ω